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나! 그네

9월 18 업데이트됨

어떤 사람이라도 어릴 적에 그네를 한 번도 타보지 않은 사람은 없을 것입니다. 그러나 그네가 어떤 원리로 움직이는지 생각해본 사람은 많이 없을 것이라고 예상합니다. 그리고 그 원리의 중심에는 물 리가 위치해있습니다.

그네가 움직이는 두 가지 방식

사람에 따라 그네를 타는 방식은 다르지만, 주로 일어서서 타거나, 앉아서 타는 경우로 나뉘게 됩니다. 전자의 경우 주로 최고점에서 다리를 굽히고, 최하점에서 다리를 다시 펴는 식으로 탈 것입니다. 아래의 gif에서도 실제로 그렇게 타는 것을 볼 수 있습니다.

서서 그네를 타는 모습.

반면, 앉아서 그네를 타는 경우 서서 탈 때처럼 다리를 굽히지 못하기 때문에, 아래 그림처럼 다리를 젖히거나 고개를 젖히는 행동을 통해 그네를 탈 것이라고 예상합니다.

앉아서 그네를 타는 모습.

놀랍게도, 두 가지의 경우 모두 다 놀라운 물리적 원리가 숨어 있습니다.

서서 그네 타기

앞서 서서 그네 타는 방식을 간단하게 설명했으나, 조금 더 자세히 설명해보겠습니다. 우선, 제가 아까 말했듯이, 그리고 그 위의 gif에서도 볼 수 있었듯이 서서 그네를 탈 때는 최하점에서 다리를 펴며 몸의 무게중심을 상승시키고, 최고점에서 다리를 굽히며 몸의 무게중심을 하강 시킵니다. 아래의 그림에서 1=>2=>3=>4=>5=>6=>7=>8=>9=>1의 순서로 몸의 무게중심이 이동한다고 보면 됩니다.

서서 그네 탈 때 무게 중심의 이동경로
몸의 움직임

이 경우에는 최하점에서 아주 짧은 미소 시간 내에 다리를 펴고, 최고점에서도 미소시간 내에 다리를 굽혀 무게 중심을 이동시킨다고 가정하였습니다. 이렇게 되면, 저희가 생각할 수 있는 두 가지는 강체 역학의 각운동량 보존 법칙과, 역학적 에너지 보존 법칙에서 중력 퍼텐셜 에너지와 회전 운동 에너지와 병진 운동 에너지의 합이 일정하다는 것입니다.


각운동량 보존 법칙은, 최하점에서 무게중심을 상승시키며 회전 관성이 줄어 들 때 적용됩니다. 왜냐하면 최하점에서 사람에 작용하는 힘은 모두 회전 원점을 지나 토크가 0이기 때문입니다. 이때 누구나 알 듯이 사람을 질점이라고 간주하면 회전 관성이 회전 원점으로 부터의 거리의 제곱에 비례하기 때문에 다음과 같이 계산할 수 있습니다. 그네의 질량과 줄의 질량은 무시하였고, 일어섰을 때 무게 중심의 이동거리는 a, 앉아있을 때 무게 중심과 회전축까지의 거리는 l입니다. 일어서기 전 모든 물리량에는 아래첨자 I를 후에는 아래첨자 f를 붙였습니다.


이번에는 최고점에서 다리를 굽히면 일어나는 일에 대해 알아보겠습니다. 참고로 퍼텐셜 에너지는 최하점에서 몸의 무게중심을 기준으로 잡았습니다. 이때 올라가기 시작할 때의 각속도는 아까의 w_f를 사용하였고, 그 후 내려왔을 때는 w_i’으로 ‘을 붙여주였습니다.



이렇게 한번 올라갔다 내려오면, w_i가 w_i’ 가 되면서 같은 최하점에 위치함에도 불구하고 각속도가 증가함을 알 수 있습니다. 아까 퍼텐셜에너지 기준점을 최하점으로 잡았기 때문에, 총 역학적 에너지는 각속도의 제곱에 비례해 맨 처음에 비해서는 l^3/(l-a)^3배로 증가하였음을 알 수 있습니다. 물론, 이 모델은 사람이 초인적인 힘으로 순간 적으로 다리를 굽히고 편다는 가정하에서 이루어진 것이기 때문에 실제와 동떨어져있을 수 있으며, 또한 그네가 정지한 상태에서 시작하는 것을 설명하지 못합니다. 물론 이경우는 몸을 흔들어 약간의 초기 진동을 주면 시작할 수있다는 것을 알 수 있습니다. 또한, 그네와 사람간에는 따로 에너지가 이동하지 않는데 사람의 속도가 점점 증가하는 이유는, 최하점에서 사람이 일을 하면서 운동에너지와 퍼텐셜에너지를 동시에 증가시키기 때문이고, 그 때 증가한 퍼텐셜 에너지는 나중에 내려올때의 속도를 더욱 빠르게 합니다.


이 모델을 실제로 계산하여 그래픽으로 나타내면 아래와 같은 이동경로가 나옵니다. 단, 물론 이 경우 줄이 강체와 같이 단단하여 휘어지지 않는다고 가정해야 할 것입니다.


또한 한가지 신기한 것은, 유전적 알고리즘이라고 하는 방식을 사용해서 그네 타는 동작을 세분화해서 학습시킨 후, 그 동작들 중에 가장 높이 올라가는 것을 다시 골라내 마치 다윈의 자연선택설처럼 반복하면 나오는 모델이 제가 방금 설명한 모델과 정확히 일치한다고 합니다.


앉아서 그네 타기

이번에는 앉아서 그네를 어떻게 타는지 생각해봅시다. 일반적으로 아래의 gif그림과 같이, 사람을 기준으로 앞으로 갔다가 뒤쪽으로 떨어지기 시작하면 발을 뒤로 젖히고, 고개를 앞으로 숙이며, 뒤쪽으로 갔다가 앞으로 떨어지기 시작하면 고개를 뒤로 젖히고 발을 앞으로 쭉 폅니다.


이때 최고점에서 정지한 상태로 고개를 숙이고 발을 뒤로 젖히는 동작을 하게 되면 아래 그림에서 볼 수 있듯이 순간적으로 몸의 중간부분에 그 반대방향의 토크가 작용하게 됩니다. 하지만 이때 손은 줄을 잡고 있고, 줄이 손이 당기는 (결국에는) 중력에 의해 팽팽하게 당겨져 있는 상태이므로 손과 줄이 맞닿는 부분을 회전축으로 토크가 작용되어 몸이 위로 들리게 됩니다. 그럼로 이전보다 무게중심이 올라가 퍼텐셜 에너지가 증가하여, 내려왔을 때 더욱 높은 속도를 얻을 수 있습니다.


반대로, 발을 앞으로 쭉 피고, 고개를 뒤로 하게 되면 같은 식으로 반대방향 토크를 주게 되어 속력을 높일 수 있습니다.


이에 대한 예시로, 앉아서 그네를 탈 때는 몸이 그네와 하나가 되어 있더라 하더라도 줄의 다른 부분을 잡고 있지 않으면 몸을 회전시키더라도 줄이 살짝 휘어지며 몸 전체가 그대로 회전하고 무게중심은 그대로이기 때문에 속력에 변화가 없습니다. 그래서 앉아있을 때 줄을 잡지 않고는 그네를 절대 탈 수 없습니다. 물론 서서 탈때는 발과 그네가 잘 붙어있기만 한다면 별 문제 없이 탈 수 있습니다.

앉아서 타는 경우에대한 분석은 손이 그네를 잡는 위치, 발과 머리의 질량, 몸의 질량 등에 따라 달라지기 때문에 서서 탄 경우와 달리 간단히 분석할 수는 없습니다. 하지만 이때에도 서서 탔을 때와 비슷하게 아래의 지배방정식을 세운 후,


수학적으로 풀면



와 같이 됩니다. 만약 이 것을 그래픽으로 나타내면 아래와 같은 모습이 됩니다. 이경우에도 물론 줄이 강체라고 가정해야 할 것입니다.


여기서 주목해야 할 것은, 서서 탈때는 아까 봤듯이 일정한 비율로 속도가 증가하는데, 앉아서 탈 때는 몸을 흔들어서 올라갈 수 있는 높이가 거의 일정해 비율로 증가하는 것이 아니라 일정한 차이로 더해지며 증가하기 때문에 두 가지 경우의 이동경로를 비교해보더라도, 서서 탈때는 등비적인 증가를 하며 스텝 간의 간격이 점점 커지지만 앉아서 탈때는 등차적인 증가를 하여 스텝간의 차이가 거의 일정함을 알 수 있습니다. 이는, 실제로도 그네를 타보면 느낄 수 있습니다.

물론 지금까지 제가 설명한 모델은 아주 단순한 구조를 가지고 있어 실제 물리 현상을 잘 표현하지 못할 수도 있지만, 이 두가지 모델이 저희가 평소에 보는 그네 타기 모습과 정확히 일치한다는 점에서는 정말 놀라운 것이 사실입니다.

결론적으로, 일반적으로 그네를 타는 방식은 서서 타는 것과 앉아서 타는 것 두가지가 있고, 서서 탈 때는 최하점에서 무게중심의 상승에 따른 각운동량 보존, 최고점에서 무게중심 하강에 따른 사용가능 퍼텐셜 에너지의 증가을 이용해 점점 속도와 올라가는 높이가 빨라집니다. 앉아서 타는 경우에는 최고점에서 다리와 머리 같은 몸의 부분을 회전시키면서 반작용에 해당하는 토크를 얻어, 무게 중심을 조금씩 상승해 퍼텐셜에너지를 얻어 속력을 증가시킵니다. 단, 서서 타는 경우는 등비적으로 에너지를 얻고 앉아 있을 때는 등차적으로 에너지를 얻기 때문에 서서 타는 경우가 훨씬 빨리 높이 올라갈 수 있습니다.


참고자료

[1] http://www.physicsinsights.org/up_in_a_swing.html

[2] http://webzine.kps.or.kr/contents/data/webzine/webzine/147620964711.pdf

[3] http://www.math.cornell.edu/~rand/randpdf/swing.pdf

첨부 이미지 출처

[1] quasarzone.co.kr

[2],[12] kakao.com

[3] scienceall.com

[4],[11],[15],[18],[19],[20] http://www.math.cornell.edu/~rand/randpdf/swing.pdf

[5],[6],[7],[8],[9],[10] 자체 제작

[13] java.com

[14],[16],[17] http://www.physicsinsights.org/up_in_a_swing.html

[21] inven.co.kr

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작성자│이준민

발행호│2020년 봄호

키워드#고전역학



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