거시 세계와 미시 세계의 연결통로 통계역학

분자 하나에 온도를 물을 수는 없다. 위치와 속도는 있어도 온도는 없다. 압력도 마찬가지다. 그런데 분자가 아주 많이 모이면 온도와 압력이 생긴다. 통계역학은 이 간극을 잇는 학문이다.

하나하나를 좇는 일은 불가능하다

1리터의 공기에는 분자가 약 10의 22승 개 들어 있다. 이 분자들의 위치와 속도를 모두 적으려면 우주에 있는 저장 장치를 다 써도 모자란다. 뉴턴의 법칙을 하나하나 풀겠다는 계획은 원리상 옳아도 실행이 불가능하다.

통계역학은 방향을 바꾼다. 개별 분자가 무엇을 하는지는 포기하고, 전체의 평균과 분포만 다룬다.

온도는 운동의 평균이다

기체에서 온도는 분자의 평균 운동에너지에 비례한다. 뜨겁다는 말은 분자들이 평균적으로 빠르게 움직인다는 뜻이다.

압력도 같은 방식으로 설명된다. 분자들이 벽에 계속 부딪히며 운동량을 전달하는데, 그 힘을 면적으로 나눈 것이 압력이다. 벽을 때리는 횟수와 세기가 곧 압력이 된다.

여기서 기체 법칙이 저절로 따라 나온다. 온도를 올리면 분자가 빨라지고, 벽을 더 세게 더 자주 때리므로 압력이 오른다. 실험으로 알아낸 관계가 분자의 운동에서 유도되는 것이다.

엔트로피는 경우의 수다

통계역학의 중심 개념은 엔트로피다. 흔히 무질서의 정도라고 설명되지만, 더 정확하게는 같은 겉모습을 만들어내는 미시적 배열의 가짓수다.

방 한쪽에 기체가 모여 있는 상태는 그런 배열이 상대적으로 적다. 방 전체에 고루 퍼진 상태는 배열이 압도적으로 많다. 분자들이 무작위로 움직이면 가짓수가 많은 쪽으로 가게 되어 있다. 기체가 저절로 퍼지는 이유이자, 저절로 한쪽에 모이지 않는 이유다.

볼츠만은 엔트로피가 이 가짓수의 로그에 비례한다는 관계를 세웠다. 이 식은 그의 묘비에 새겨져 있다.

되돌릴 수 없음의 정체

뉴턴의 운동 법칙에는 시간의 방향이 없다. 영상을 거꾸로 돌려도 물리 법칙을 어기지 않는다. 그런데 현실에서는 깨진 컵이 다시 붙지 않고, 퍼진 잉크가 다시 모이지 않는다.

통계역학의 답은 이렇다. 되돌아가는 것이 금지된 것이 아니라, 가능성이 극히 낮을 뿐이다. 분자 수가 많아질수록 이 확률은 사실상 0에 가까워진다. 시간의 방향은 법칙이 아니라 확률에서 나온다.

기체 바깥으로

이 방법은 기체를 넘어 넓게 쓰인다. 자석이 특정 온도에서 자성을 잃는 현상, 물이 끓는 현상처럼 성질이 갑자기 바뀌는 상전이를 다루는 도구가 됐다.

최근에는 물리학 밖으로도 옮겨 갔다. 신경망의 학습 과정, 교통 흐름, 금융시장의 변동을 다루는 데 같은 틀이 쓰인다. 많은 것이 모여 상호작용할 때 나타나는 현상이라면 재료가 무엇이든 비슷한 수학이 적용된다는 점이 밝혀졌기 때문이다.