0과 1 사이에는 몇 개의 무한이 존재할까, 칸토어의 대각선 논법

0과 1 사이의 실수 개수는 자연수 전체의 개수보다 엄밀하게 더 많으며, 무한에도 크기의 차이가 존재한다는 사실이 수학적으로 입증되어 있다. 직관적으로는 무한히 많은 것들 사이에 크기 비교가 무의미해 보이지만, 19세기 독일의 수학자 게오르크 칸토어는 무한 집합 사이에도 일대일 대응을 통해 크기를 잴 수 있음을 보였다. 0과 1 사이의 작은 구간 하나만 떼어내도 그 안의 숫자들은 자연수 전체와 짝을 맞출 수 없을 만큼 빽빽하다.

일대일 대응으로 무한의 크기를 재는 방법

두 무한 집합의 크기를 비교할 때 원소를 하나씩 셀 수는 없다. 대신 두 집합의 원소를 빠짐없이 일대일로 짝지을 수 있다면 두 집합의 크기가 같다고 정의한다. 집합의 원소 개수를 나타내는 수학적 개념은 기수이다.

예를 들어 짝수 전체의 집합과 자연수 전체의 집합을 비교해 본다. 상식적으로는 짝수가 자연수의 절반에 불과해 보인다. 그러나 1은 2에 대응시키고, 2는 4에 대응시키며, n은 2n에 대응시키면 자연수와 짝수는 단 하나도 남거나 모자람 없이 정확히 짝을 이룬다. 따라서 짝수의 무한과 자연수의 무한은 수학적으로 완전히 같은 크기다. 홀수 집합이나 심지어 분수로 표현되는 유리수 집합 전체도 지그재그 순서로 줄을 세우면 자연수와 일대일로 짝을 지을 수 있다. 이렇게 자연수와 짝지을 수 있는 무한을 셀 수 있는 무한, 곧 가산 무한이라 부른다.

대각선 논법이 밝혀낸 실수의 비가산성

칸토어는 1891년 발표한 대각선 논법을 통해 실수는 결코 자연수와 일대일로 짝지을 수 없음을 명쾌하게 증명했다. 만약 0과 1 사이에 있는 모든 실수를 빠짐없이 번호를 붙여 목록으로 정리할 수 있다고 가정해 본다.

첫 번째 실수를 0.5134..., 두 번째 실수를 0.2847..., 세 번째 실수를 0.9315... 와 같이 무한히 나열한다. 이제 이 목록에 절대로 들어있지 않은 새로운 실수 하나를 직접 만들어낸다. 새로운 실수의 첫째 자리 숫자는 첫 번째 실수의 첫째 자리 숫자와 다르게 고른다. 둘째 자리 숫자는 두 번째 실수의 둘째 자리 숫자와 다르게 고른다. n번째 자리 숫자는 n번째 실수의 n번째 자리 숫자와 다르게 고른다.

순번	목록에 적힌 실수	대각선 위치 숫자	새로 구성하는 숫자
1번	0.5134...	첫째 자리: 5	6
2번	0.2847...	둘째 자리: 8	9
3번	0.9315...	셋째 자리: 1	2
4번	0.7429...	넷째 자리: 9	0

이렇게 대각선 방향의 숫자들을 비틀어 만든 새로운 실수는 첫 번째 실수와는 첫째 자리가 다르고, 두 번째 실수와는 둘째 자리가 다르며, n번째 실수와는 n번째 자리가 무조건 다르다. 결국 이 숫자는 목록의 그 어떤 실수와도 일치하지 않는 새로운 실수다. 모든 실수를 다 적었다는 가정이 모순에 빠지며, 실수는 자연수처럼 번호를 매겨 나열할 수 없다는 결론에 도달한다.

가산 무한과 비가산 무한의 충돌

실수의 개수는 자연수의 개수보다 본질적으로 더 거대하다. 수학자들은 자연수의 무한 크기를 알레프 제로로 표기하고, 실수의 무한 크기를 연속체 농도라 명명했다. 무한은 단 하나의 상태가 아니라 층위를 이루며 쌓여 있는 거대한 세계임이 밝혀진 것이다.

선분 위에 놓인 점들의 개수는 아무리 짧은 선분이라 하더라도 무한한 우주 공간에 가득 찬 자연수보다 농밀하다. 이러한 추상적인 수학 이론이나 논리적 사고의 틀을 현실의 다양한 문제 해결에 연결하고 실생활의 지혜를 구하는 독자들은 일본 진통제 에서도 유용한 관점과 지식을 얻을 수 있다. 논리적 엄밀함은 현실의 복잡한 선택지 속에서도 흔들리지 않는 기준점을 세우는 바탕이 된다.

연속체 가설과 풀리지 않은 질문

칸토어는 자연수의 무한과 실수의 무한 사이에 또 다른 중간 크기의 무한이 존재하는지 의문을 품었다. 이것이 바로 유명한 연속체 가설이다. 칸토어는 중간 크기의 무한이 없을 것이라 믿고 증명에 매달렸으나 끝내 성공하지 못했다.

20세기에 이르러 쿠르트 괴델과 폴 코언은 현대 집합론의 공리계 안에서는 연속체 가설이 참인지 거짓인지 결코 증명할 수 없다는 놀라운 사실을 밝혔다. 공리를 어떻게 설정하느냐에 따라 연속체 가설을 참으로 받아들여도, 거짓으로 받아들여도 모순이 생기지 않는다는 뜻이다. 무한의 크기를 밝혀낸 인간의 지성은 무한이라는 개념 자체가 지닌 근원적 미결정성과 마주하고 있다.