top of page
33.jpg
55.jpg

KAIST부설 한국과학영재학교 온라인 과학매거진 코스모스

  • 블랙 페이스 북 아이콘
  • 블랙 인스 타 그램 아이콘

통신 시스템, 수학으로 발전하다

현재 우리는 ‘5G’시대에 살고 있다. 하지만 데이터의 양이 급속도로 증가하면서 5G도 머지않아 포화될 것으로 보인다. 비로소 ‘6G’가 등장할 때가 온 것이다. 5G 기술이 이전 기술에 비해 더 높은 데이터 전송 속도와 짧은 지연 시간 및 많은 서비스를 지원하는 동시에 네트워크 효율이 향상되도록 설계된 만큼, 6G 역시 이에 걸맞게 더 좋은 기능을 갖도록 설계되어야 할 것이다. 얼마나 더 높은 성능을 갖는지는 수치적으로 비교하면 한눈에 알 수 있다. 통신 시스템에는 어떤 것들이 있고, 그 성능은 어떻게 수학적으로 파악해야 할 지 알아보자.


Terahertz Line-of-Sight 통신 시스템

초창기 1G부터 최근 5G에 이르기까지 지난 수 십 년간 무선 통신 기술이 발전해 오면서 통신 시스템의 bit rate는 지속적으로 증가되어왔다. 정보가 처리되는 속도를 나타내는 bit rate 값은 대역폭(Bandwidth: 통신에 사용할 수 있는 주파수 범위)과 주파수 효율(Spectral Efficiency: 주어진 대역폭에서 최대로 구현 가능한 정보 전송률)의 두 가지 요소에 의해 주로 결정된다. 대역폭은 현재까지 밀리미터파(mmWave) 주파수 대역까지 확장되었으며, 차세대 기술에는 테라헤르츠(Terahertz) 주파수 대역까지 확장시킬 것을 기대할 수 있는 상황이다. 또한 주파수 효율의 경우는 송신단과 수신단에 여러 개의 안테나를 사용하는 MIMO(Multi-Input Multi-Output) 기술을 적용하여 효율을 높이는 방식이 연구되고 있다. 테라헤르츠 대역은 높은 주파수를 가지는 전파를 이용하기 때문에 회절이 거의 발생하지 않는다. 따라서 Multipath Propagation가 매우 약해지고, 직선 경로를 따라 전파되는 가시선 전파(Line-of-Sight Propagation, LoS)의 방식을 주로 따르게 된다. 이와 같은 성질로 인해 안테나 사이의 거리와 배치가 채널의 성질을 결정하는 중요한 요소로써 작용하게 되었다.

송신단 안테나와 수신단 안테나
무선 채널의 용량

1) 채널 용량


통신의 성능을 파악하고자 할 때에는 채널 용량(Channel Capacity)를 고려한다. Channel capacity는 통신 채널에서 오류를 발생시키지 않도록 정보를 전송시킬 수 있는 최대 속도를 의미하며, 이 속도를 넘어가도록 데이터를 전송시킬 경우 반드시 오류가 발생할 수밖에 없게 된다. 이때 정보 전송 속도의 개념은 주파수 효율(Spectral Efficiency)의 개념과 동일한 것으로써 이해할 수 있다.


2) AWGN 채널의 용량


무선 통신 채널의 용량을 분석하기 위해 먼저, 기본적인 형태인 AWGN 채널의 용량을 이해해야 한다. AWGN 채널(Additive White Gaussian Noise Channel)이란 시간에 따라 정규분포 형태의 확률 분포를 가지는 잡음이 입력 신호에 더해지는 형태로 작용하는 채널을 말한다. 다양한 외부적 요인들로 인해 충분히 많은 채널에서 독립적으로 잡음이 발생하는 무선 통신 환경을 가정한다면, 그 잡음을 중심극한정리를 적용시켜 complex gaussian distribution 형태인 Rayleigh Distribution으로 모델링할 수 있다. 이 Rayleigh 분포는 2차원 벡터의 직교 성분이 정규분포를 따를 때 벡터의 크기가 나타내는 분포를 의미하므로 두 성분을 각각 분석한 후 합성하는 방식을 취한다. 이에 따라 각 성분을 송신 신호와 수신 신호가 시간에 따른 random variable 인 X=x[m], Y=y[m] 으로 주어지는 채널의 잡음 Z=z[m]이 N(0,σ^2)꼴의 real gaussian distribution을 따르는 모델로써 이해하도록 하자. 이때 송신 신호 X의 전력을 제한시킨 상태에서 용량을 비교하기 위해서 전력을 P로 설정하기로 한다.

이와 같은 채널의 용량을 생각해보도록 하자. 정보이론적 정의에 따르면 어떤 채널의 용량은 송신 정보 X와 수신 정보 Y의 Mutual Information양의 최댓값으로 나타낼 수 있다.

X와 Y의 mutual information 은 X가 주어짐으로써 제공되는 Y정보의 양(혹은 그 반대)에 해당하는 값으로써 Y의 정보 양에서 X가 알려진 상태에서의 Y정보 양을 뺀 것(혹은 그 반대)과 같다. 정보이론에서 정보의 양을 나타내는 데 사용하는 엔트로피의 개념을 이용하면 mutual information인 I(X;Y)는 Y의 엔트로피에 X에 대한 Y의 조건부 엔트로피를 뺀 값(혹은 그 반대) 으로 구할 수 있다.

(3)에서 Y=X+Z임을 이용해 h(Y|X)를 변형시킬 수 있다. X에 대한 Y의 조건부 엔트로피는 Y의 X에 대한 효과를 제거하고 남은 Z의 조건부 엔트로피와 같으며, 입력 신호인 X와 잡음인 Z는 독립적으로 발생하여 서로 영향을 주고받지 않으므로 Z의 X에 대한 조건부 엔트로피는 곧 Z의 엔트로피와 같아 I(X;Y)=h(Y)-h(Z)라는 결론을 얻게 된다.


반면, 평균이 이고 분산이 인 gaussian random variable 형태로 주어진 정보 의 differential entropy는 아래와 같이 에 대한 로그 식으로 나타내어진다는 사실이 알려져 있다

분산이 주어진 경우 gaussian distribution 일 때 그것의 differential entropy가 최소화된다는 사실이 알려져 있다. Y는 분산이 결정되어있으므로, h(Y)의 최솟값은 분산이 동일한 gaussian random variable의 엔트로피와 같다. 따라서 아래의 식이 성립하며 이를 통해 얻어진 X와 Y의 mutual information의 최댓값에 해당하는 값 C가 앞에서 제시한 real distribution 모델의 채널 용량이 됨을 알 수 있다.

위의 결과를 이용해 AWGN 채널의 실제 형태인 complex gaussian distribution 모델로 확장시키도록 하자. 전력(Power)P, 대역폭(Bandwidth) W, 백색 가우시안 잡음(White Gaussian Noise)의 전력 스펙트럼 밀도(Power Spectral Density)값 N/2인 AWGN 채널에서 생각해 보면, 무선 통신 이론에서 알려진 바에 따라 각 성분 real gaussian channel의 잡음 분산은 N/2, symbol 당 전력(P)은 P/2W로 구해진다. 따라서 하나의 component channel의 용량은 아래와 같다.

여기서 SNR(Signal to Noise Ratio: 신호 대 잡음비)의 개념을 도입할 수 있다. SNR은 잡음의 전력에 대한 수신된 신호의 전력의 비율로써, 정보가 얼마나 손실되지 않고 잘 전달되는가를 나타내어 통신 채널의 성능을 나타내는 지표로 사용된다

앞 식은 하나의 real gaussian channel의 용량을 나타내는데, complex gaussian channel은 두 개의 component channel을 합성한 것이므로, 식을 두 배 함으로써 AWGN 채널의 용량 식을 얻을 수 있다. 위의 관계식까지 대입하여 나타낸 결과는 아래와 같다.

3) 무선통신 채널의 용량


무선 통신 기술을 개발하고자 한다면 이상적인 AWGN 채널과는 다른 외적인 요소들을 고려할 필요가 있다. 따라서AWGN 채널에서의 이론을 실제 무선 통신 채널로 적용시키는 과정을 거쳐야 한다. 무선 채널의 큰 특징 중 하나는 신호 전달을 방해하는 여러 요소들 중 하나로 페이딩(Fading)이 발생한다는 점이다. 이 현상은 신호가 전자기파의 형태로 전달되기 때문에 그들 고유의 물리적 특성에 따라 상호 간섭이 일어나게 되어 신호가 불규칙적으로 변하게 되는 현상을 말한다. 과거에는 무선 통신에서 페이딩은 그저 정보 전달의 정확도를 낮추는 방해 요소로 받아들여져 왔으나, 현재는 페이딩을 적절히 이용한다면 주파수 효율을 높이는 효과가 생긴다는 사실에 주목하고 있다. 따라서 지금부터는 페이딩 현상에 의한 channel gain 효과를 고려한 무선 통신 환경을 다룰 것이다.

무선 채널 또한 모델링할 수 있는데, 송신, 수신 신호 x[m], y[m]과 백색 가우시안 잡음 w[m], 여기에 channel gain 효과를 나타내는 h[m]를 추가하여 아래와 같은 식으로써 나타낸다

채널의 SNR값은 수신 신호의 전력에 비례하는데, 위 식을 보면 channel gain h[m]이 송신 신호에 곱해지는 방식으로 작용하므로 전력 식에는 그 제곱이 곱해지는 꼴로 나타나게 될 것을 예상할 수 있다. 따라서 위 모델의 SNR값은 기존 AWGN 모델의 SNR값에 channel gain의 제곱이 곱해진 것으로 구해진다. 그렇다면 무선 채널의 용량 식은 아래와 같이 쓸 수 있다.

이렇게 수학을 활용하여 통신의 성능을 수치적으로 비교해 경험적으로 더 나은 통신 모델을 설계할 수 있다. MIMO 통신 이외에도 다른 통신 모델들은 수식으로 어떻게 표현될 수 있는지 알아볼 기회가 있으면 좋을 것 같다.


 

김아리 학생기자 | Mathematics & Computer Science | 지식더하기


참고자료

[1] Terahertz Line-of-Sight MIMO Communication: Theory and Practical Challenges, IEEE Communications Magazine, vol. 59, no. 3, pp. 104-1

ⓒ KAIST부설 한국과학영재학교 온라인 과학매거진 KOSMOS

조회수 374회댓글 0개

최근 게시물

전체 보기
bottom of page