여러분들은 모든 행성이 태양을 초점으로 하는 타원형으로 돈다는 사실을 잘 알고 계실 겁니다. 이는 케플러 제 1법칙에도 명시되어 있죠. 그런데 혹시 왜 그 궤도가 타원형인지 생각해 보신 적이 있나요? 간단히 만유인력 때문이라고 말할 수도 있겠죠. 하지만 제가 여기서 설명할 것은 F=GMm/r^2 이라는 역제곱 법칙에서 어떻게 타원 궤도가 등장하는지입니다.
위의 식을 풀면 타원형 궤도를 얻을 수 있다고 합니다. 하지만 우리가 진정 원하는 것은 어려운 수학으로 푸는 게 아니겠죠?
이 문제에 대해 유명한 물리학자 Richard Feynmann이 1964년 강의한 것이 있습니다. 그는 강연 당시 이러한 말을 했다고 하죠.
“I am going to give you what I will call an elementary demonstration. But elementary does not mean easy to understand. Elementary means that very little is required to know ahead of time to understand it, except to have an infinite amount of intelligence.”
파인만의 유쾌함이 드러나죠. 이제 본격적인 설명을 시작해보도록 하겠습니다.
우선 간단한 기하학적인 발견에서 시작됩니다. 원 내부에 중심이 아닌 한 점을 잡고, 그 점에서 원 둘레의 모든 점들에 선을 긋습니다. 그 후 각 선들을 그 선의 중심에 대해 90도 회전하면, 안쪽에 완벽한 타원이 등장하죠.
증명은 생각보다 간단합니다. 원 내에 특별한 점이라고는 원의 중심 C와 새로 정한 점 A밖에 없으므로 그들이 초점이라는 것을 보이면 됩니다. 그림에서 보이듯이 원둘레의 한 점 P를 잡았을 때, PA를 90도 돌린 선에서 한 점 Q를 잡으면, C와 A에서 Q까지 거리의 합은 PQ+QC와 같습니다. 이 값의 최솟값은 Q가 PC 위에 있을 때겠죠. 그때 이 값은 정확히 큰 원의 반지름이 되므로, P를 어디에 잡든 최솟값은 같습니다. 그래서 CA+QA의 최솟값이 일정하므로, 타원의 정의(두 초점에서 거리의 합이 일정)에 의해 안쪽에 타원이 등장합니다. 또 하나 알아둬야 할 점은 각 타원의 점을 만드는 PA의 90도 돌린 선이 그 점에서 행성의 속도에 대응된다는 점입니다. (접선이기 때문)
다음으로 알아야 할 것은 케플러 제 2법칙입니다. 같은 시간 동안 행성과 태양을 연결하는 선분이 쓸고 가는 면적은 같다는 것이죠. 이는 각운동량 보존 법칙을 적용하면 얻을 수 있습니다.
위의 그림에서 짧은 시간 Δt 동안 쓸고 가는 면적을 0.5RvΔt 로 나타낼 수 있는데, 각운동량 보존 법칙에 의해 mRv는 일정하므로, 면적은 정확히 Δt 에만 의존합니다. 따라서 같은 시간 동안 쓸고 가는 면적은 같죠. 사실, 케플러 2법칙은 궤도가 어떻게 되는가에는 전혀 상관없이 만유인력이 태양 방향으로 작용만 한다면 충분합니다.
이제 역제곱 법칙을 적용하여 행성의 궤도를 알아내야 하는데, 사실 궤도를 바로 구하기는 너무나도 어렵습니다. 그래서 여기서는 궤도 대신, 각 점에서의 속도 벡터가 어떻게 변하는가를 알아볼 것입니다.
신기하게도, 각 속도 벡터들의 꼬리를 한 점에 모은다면, 그 머리들은 원을 그리게 됩니다. 왜 그런지는 역제곱 법칙과 케플러 2법칙을 적절히 섞으면 됩니다.
행성의 궤도를 그 중심각이 같은 부채꼴 비슷한 모양으로 등분합니다. 그러면 각 부분을 통과하는 데 걸리는 시간은 케플러 제 2법칙에 의해 그 조각의 넓이와 비례하겠죠. 이는 반지름의 제곱에 다시 비례합니다. 그런데, 각 부분을 지나는 동안의 속도 변화는 가속도와 시간의 곱에 비례하는데, 가속도는 반지름의 제곱에 반비례하고(역제곱 법칙) 시간은 반지름의 제곱에 비례하므로 속도 변화가 일정하게 유지됩니다. 따라서, 속도 벡터들의 꼬리를 모은다면 머리는 변의 길이가 모두 같은 어떤 다각형이 되겠죠.
또한, 만유인력은 항상 태양을 향하기 때문에 그 가속도(또는 속도 변화)는 한 조각을 지날 때마다 일정한 각만큼 바뀝니다. 다른 말로, 그 다각형의 외각이 모두 일정하다는 것이죠. 이제 처음에 궤도를 나눌 때 매우 작은 조각으로 나눈다고 하면, 이 다각형은 원이 되고 말 것입니다.
이제 궤도를 볼 시간이 얼마 남지 않았습니다. 궤도에서 θ만큼 이동한 것은 속도에서도 마찬가지로 θ만큼 옮긴 것입니다. 아래 그림에서 노란 속도 벡터는 행성이 저 위치에 있을 때의 속도입니다.
그런데 두 θ의 위치가 다르죠? 따라서 하나의 트릭을 씁시다. 먼저 왼쪽의 속도 벡터 그림을 90도 오른쪽으로 돌립니다. 그 다음, 속도벡터가 모두 90도 오른쪽으로 돌아갔기 때문에, 다시 각 속도벡터를 그 중심에 대해 90도 왼쪽으로 돌립니다.
여기서 눈치채신 분들이 있을 겁니다. 저 그림은 우리가 아까 타원이라는 것을 증명했던 그림이죠! 이제 저희는 각 속도벡터를 가지고 궤도를 그리면 정확히 타원이 나온다는 사실을 알아냈습니다. 행성의 궤도가 타원이라는 것을 증명했죠.
저희는 기하학을 이용해 타원이 어떻게 탄생하는가를 발견하고, 두 법칙을 적절히 조합해 행성의 속도 벡터의 특징을 발견하고, 이를 이용해 실제 궤도를 구했습니다. 이처럼 행성의 궤도가 타원이라는 것을 보이는 것은 생각보다 쉬운 작업이 아닙니다. 제 의도와는 별개로 차라리 방정식을 풀어서 구하는 게 더 낫겠다고 생각하는 사람도 있을 것 같네요. 하지만, 이렇게 기하학적인 트릭들을 이용해 푸는 것도 새로운 사고에 상당한 도움이 될 것입니다.
만약 자신은 무한한 양의 총명함이 없어서 이렇게 elementary한 것도 이해가 잘 안 된다면 아래 영상을 참고해주시면 감사하겠습니다.
필요한 피직스 2019 여름호
작성자: 여승현
분야: 역학
이미지 및 동영상:
[1] https://www.youtube.com/watch?v=xdIjYBtnvZU
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