이중 진자와 라그랑지안

진자는 중학교 물리에서도 등장할 정도로 친근한 소재이다 또한 수많은 물리과정에서 매번 등장할 만큼 물리적으로 매우 매력적인 소재이다. 그만큼 독자 중 열에 아홉은 진자를 접해보았을 것이라고 생각한다. 하지만 변형하면 변형할 수록 어려워지는 소재이기도 하다. 특히 이중진자와 같은 경우 뉴턴역학(Newtonian Mechanics)으로 푸는 것이 거의 불가능하다. 한번 이중진자의 운동을 분석해본다고 생각해보자. 이의 경우 장력과 중력이 계속 달라지기에 풀기 굉장히 어렵고 복잡하여 우리가 그동안 배운 운동방정식 F = ma 꼴로 나타낼 수 없다고 볼 수 있다. 이에 이를 쉽게 풀 수 있는 방법이자 물리학 전공이 아니라면 잘 들어보기 힘든 생소한 라그랑주 역학(Lagrangian Mechanics)에 대해 여러 가지 다양한 진자를 통해 소개하고자 한다.


본격적으로 시작하기 전에 라그랑주 역학에 대해 간단한 소개를 하자면 이는 일명 ‘사기템’이라고 할 수 있는 역학문제를 포함한 수많은 물리문제를 쉽고 간단하게 연립편미분 방정식을 통해 해결할 수 있게 해준다. 그래서 서울과학고등학교 물리시험에서는 라그랑주 역학을 사용하지 말라는 문구를 시험지 상단에 기재해둔다.


프린키피아(Principia)와 뉴턴역학(Newtonian Mechanics)

뉴턴역학은 중학교 과정과 고등학교 과정, 그리고 일반물리학에서 배우는 역학이다. 그만큼 이해하기 쉬운 내용인데 뉴턴역학은 벡터를 통하여 나온 식, F = ma를 근간으로 모든 물리적인 움직임을 기술해낸다. 아래 그림은 뉴턴이 저술한 프린키피아(Principia)이다.

뉴턴이 1967년에 출판한 프린키피아

프린키피아는 총 3권으로 구성되어 있다. 많은 책에서 이를 그저 프린키피아라고만 하나 실제 이름은 ‘자연철학의 수학적 원리’(Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica)이다. 이는 라틴어로 쓰였지만 현재 수많은 언어로 번역되었으며 우리나라 한글로도 번역되었다.


물리에 어느 정도 관심이 있는 사람들은 본 책이 물리법칙에 필요한 수학적 원리를 공들여 설명한 기초적인 역학교재에 그친다고 말한다. 하지만 우리가 유념해야 할 것은 바로 이를 ‘물리’라는 학문의 기초가 잡혀지지 않은 상태에서 뉴턴이 썼다는 점이다. 이의 내용은 곧 뉴턴역학이 되어서 물리를 포함한 수많은 학문을 집대성하게 하였다. 이에 대한 자세한 사항은 위키피디아나 아래 참고문헌을 보기 바란다.


이제 프린키피아에 적힌 뉴턴역학에 대해 논해보겠다. 위에서 말했듯이 뉴턴역학은 벡터가 핵심이다. 벡터가 있기에 우리는 물리학적인 현상을 깔끔하게 표현할 수 있게 되었다. 하지만 안타까운 점은 이것을 벡터로 계산해야 하기에 문제가 복잡해질수록 즉, 변수(variable)가 많아질수록 뉴턴역학을 이용하기는 너무나 어려워진다. 그래서 연속적인 경우에는 미적분 중 특히 적분을 이용할 수 밖에 없는 문제들의 수가 급증하게 되었다. 또한 우리는 이를 풀기 위해 종종 행렬을 이용하기도 한다.


하지만 더 큰 문제는 적분조차도 못쓰는 문제들이다. 본 기사 처음에 적은 이중진자 문제가 그것이다. 단진자와 같은 경우는 하나에 대해 근사를 이용하여 단순조화운동(Simple Harmonic Motion)임을 얻어낼 수 있으나 이중진자와 같은 경우에는 각 물체에 작용하는 힘이 각 물체의 상태에 달라지나 이는 각각 영향을 미치기에 푸는 것이 불가능하다.


복잡한 진자운동 (Motion of the Complex Pendulums)

진자운동은 너무나도 흥미로운 소재이다. 이는 본 기사에서 진자를 통해 생소한 라그랑주 역학을 설명하고자 하는 이유이기도 하다. 가장 간단한 진자는 아래와 같은 단진자이다.

단진자

단진자는 매우 간단한 경우이다. 위에서 말했듯이 각진폭이 5° 이하인 경우에는 근사를 통해 아래 수식과 같이 단진자의 운동을 설명할 수 있다. 이 외에도 더 많은 진자들이 있다. 아래 그림과 같이 비틀림 진자, 물리진자 등 많은 진자들이 존재한다.

비틀림 진자

물리 진자

복합 진자

단진자와 같이 비틀림 진자와 물리진자의 경우 상수를 통하여 아래와 같이 움직임을 하나의 미분방정식을 통해 나타낼 수 있다.

단순조화진동의 기본적인 미분방정식

위의 미분방정식을 만족하는 진동을 단순조화진동(Simple Harmonic Motion)이라고 하거나 이를 줄여서 단조화 운동이라고 한다. 하지만 복합진자와 같은 경우는 이중 진자와 같이 라그랑지안을 이용한 라그랑주 역학을 활용해야 한다.


진자의 응용 (Applying Pendulum)

현실세계에서는 공기저항이 있기에 단진자든 물리 진자든 위의 단조화운동을 나타내는 미분방정식을 만족하지 않는다. 하지만 구형 혹은 유선형으로 공기저항계수를 줄이고 진자의 질량을 증가시킬수록 공기저항에 의한 효과가 적어지기에 이용한다. 참고로 진자를 만들 때는 모양을 변형시켜 저항계수를 줄이는 것보다 진자의 질량을 증가시키는 것이 더욱 많이 애용하는 방법이다.

실제로 푸코 진자를 이용하여 지구의 자전주기를 증명하는데 이용되었다.(실제로 푸코 전자는 이를 이용하여 지구의 자전주기를 증명하는데 이용되었다? 실제로 푸코 전자를 이용하여 지구의 자전주기를 증명하였다?) 아래는 현재 판테온 돔 아래에서 1995년 이후 영구적으로 돌고 있는 푸코 진자이다.

푸코 진자

푸코 진자는 진자의 일종으로 프랑스의 과학자 레옹 푸코(Jean Bernard Léon Foucault)가 지구의 자전을 증명하기 위해서 디자인한 것이다. 기존의 진자(단진자)와 같은 경우 진자에 작용하는 힘이 실의 장력과 중력 밖에 없기에 한 면 안에서 돌아야 하나 이의 경우 지구의 자전에 의한 코리올리 힘(전향력)을 받아서 위치가 계속 변화한다. 1851년 푸코는 판테온의 돔에서 길이 67 m의 실을 내려 질량이 28 kg인 납 진자를 매달고 흔들었다. 추의 진동면은 32.7시간마다 완전한 원을 만들면서 시계방향으로 매 시간 11도씩 회전했다고 한다. 현재 1851년 푸코가 만든 기존의 진자는 1885년 프랑스 국립 과학연구원으로 옮겨졌다. 이후 여러 번 판테온과 프랑스 국립 과학연구원을 오가다가 2010년 4월 6일에 프랑스 국립 과학연구원의 진자를 매달은 추와 박물관 대리석 바닥에 수리할 수 없는 파손을 일으키면서 끊어졌다. 현재는 판테온 돔 아래에서 기존의 진자의 복제품이 1995년 이후 영구적으로 돌고 있다.


이 외에도 진자를 이용한 많은 물건들과 실험들이 있다. 그 중 추시계는 물리진자의 예시로서 가장 적합하다고 할 수 있다.

일반적인 추시계

라그랑주 역학 (Lagrangian Mechanics)

이제 역학에서 일명 ‘사기템’이라고 불리는 라그랑주 역학에 간단하게 개요만 소개하고자 한다. 라그랑지안의 등장으로 뉴턴 역학에서는 좌표계 변환을 하면서 복잡하게 풀어야 하는 문제들을 간단한 연립 편미분방정식을 통해 쉽게 해결할 수 있게 되었다.


먼저 앞서 이야기했던 라그랑지안(Lagrangian)의 정의는 계(system)의 모든 운동에너지에서 위치에너지를 뺀 값이다.

라그랑지안의 정의

여기서 라그랑지안은 각 입자의 위치에너지와 운동에너지에 대한 함수이므로 이는 각 입자의 위치와 위치의 도함수 즉, 속력과 시간에 대한 함수라고 할 수 있다. 여기서 입자의 위치의 표현을 일반화된 좌표계라고 한다.


다음으로 액션을 라그랑지안의 시간에 대한 적분이라고 정의한다.

액션의 정의

액션을 번역하여 작용이라고 하는 경우도 있다.


해밀턴(William Rowan Hamilton)은 위의 액션이 변분이 0이라는 해밀턴의 원리(Hamilton’s principle)를 보였다. 이를 수식적으로 표현하면 다음과 같다.

해밀턴의 원리

이를 연립 편미분방정식으로 푼 것이 아래 오일러-라그랑주 방정식이다.

오일러-라그랑주 방정식

해밀턴의 원리에서 오일러-라그랑주 방정식으로 넘어가는 수학적인 과정이 궁금하면 참고 자료에 있는 기초역학(Classical Mechanics)이나 해석역학(Analytic Mechanics) 책을 참고하길 바란다.

즉, 우리는 해밀턴의 원리를 연립 편미분방정식으로 나타낸 오일러-라그랑주 방정식을 통하여 뉴턴 역학으로는 너무 복잡해서 풀기 어렵거나 시간이나 상황에 따라서 변수가 너무 많은 경우를 쉽고 간단하게 해결할 수 있다.


이중진자의 해법 (Solution of Double Pendulum)

이제 위에서 보았던 라그랑주 역학을 이용하여 뉴턴 역학으로는 해결이 거의 불가능한 이중진자의 움직임을 수식적으로 보여보자. 이중진자를 아래와 같이 나타낼 수 있다.

이중진자

진자가 매달려있는 각도를 각각 일반화 좌표로 설정하자. 여기서 물체 1의 운동에너지는 다음과 같이 표현할 수 있다.

물체 1의 운동에너지

마찬가지로 물체 1의 위치에너지는 줄이 달려있는 천장을 기준면을 잡을 때 다음과 같다.

물체 1의 위치에너지

이를 상대속도 개념을 이용하여 물체 2에 적용하여 비슷한 과정을 통해 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

물체 2의 운동에너지

물체 2의 위치에너지

운동에너지와 위치에너지에 관한 정보를 모두 얻었다. 여기서 각 일반화 좌표에 대해서 라그랑지안은 아래의 편미분방정식을 만족한다.

이중진자의 오일러-라그랑주 방정식

이 식을 먼저 풀면 다음 미분방정식을 만족한다.

물체 1의 각도에 대한 미분방정식

물체 2의 각도에 대한 미분방정식

위와 같이 풀이과정은 몹시 간단하지만 매우 복잡한 결과를 얻을 수 있다. 본 형태의 미분방정식은 컴퓨터가 아닌 이상 풀거나 분석하는 것이 굉장히 난해하다. 복잡한 미분방정식만큼 움직임도 굉장히 복잡함을 알 수 있다.

이중진자의 운동 시뮬레이션


지금까지 진자라는 특이하지만 친숙한 소재를 통하여 라그랑주 역학에 대해 알아보았다. 라그랑주 역학도 굉장히 어려운 수학을 바탕으로 이루어지지만 역학에서 이보다 더 어려운 내용도 있다. 예를 들면 라그랑주 역학의 라그랑지안을 기초로 하여 만들어진 해밀턴 역학(Hamiltonian Mechanics)의 해밀토니안(Hamiltonian)이 그 예시이다. 이들은 굉장히 유사한 관계를 가지고 있는데 이들이 쉬운 이유는 벡터가 아닌 스칼라량인 에너지를 통하여 라그랑주 역학에서 위치와 속도, 해밀턴 역학에서는 운동량을 정의하고 문제를 해결하기 때문이다. 이에 양자공간에서는 F = ma가 성립하지 않기에 뉴턴 역학을 적용하지 못하지만 에너지와 운동량은 항상 보존되기에 라그랑주 역학과 해밀턴 역학을 이용할 수 있다. 물론 질량-에너지 등가원리로 인해 라그랑주 역학보다는 해밀턴 역학을 더욱 많이 사용하는 것은 부정할 수 없는 사실이다.



<참고자료>

[1] Tom W. B. Kibble et al., Classical Mechanics (5th Ed.), Imperial College Press

[2] Herbert Goldstein et al., Classical Mechanics (3th Ed.), Addison-Wesley

[3] Grant Fowles et al., Analytical Mechanics (7th Ed.), Thomson Books

[4] Leonard Susskid et al., The Theoretical Minimum : What Yon Need to Know to Start Doing Physics, Basic Books

[5] Sir Issac Netwon

https://en.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton

[6] Pendulum

https://en.wikipedia.org/wiki/Pendulum

[7] 라그랑주 역학

https://namu.wiki/w/%EB%9D%BC%EA%B7%B8%EB%9E%91%EC%A3%BC%20%EC%97%AD%ED%95%99?from=%EB%9D%BC%EA%B7%B8%EB%9E%91%EC%A7%80%EC%95%88

[8] 프린키피아(자연철학의 수학적 원리)

https://namu.wiki/w/%ED%94%84%EB%A6%B0%ED%82%A4%ED%94%BC%EC%95%84


<이미지>

[1] Foucault pendulum

https://en.wikipedia.org/wiki/Foucault_pendulum

[2] 진자

https://namu.wiki/w/%EC%A7%84%EC%9E%90

[3] 단진자

https://namu.wiki/w/%EB%8B%A8%EC%A7%84%EC%9E%90

[4] 자연철학의 수학적 원리

https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%9E%90%EC%97%B0%EC%B2%A0%ED%95%99%EC%9D%98_%EC%88%98%ED%95%99%EC%A0%81_%EC%9B%90%EB%A6%AC


<동영상>

[1] https://youtu.be/QXf95_EKS6E


Physics 학생기자 홍원기

2019년 가을호

지식더하기

역학-라그랑주 역학

조회 613회
KOSMOS LOGO_type4_white.png
KSA로고_White.png

CONTACT   대표자: 김동휘   H.P.: 010-7157-9079   Email: ksakosmos@gmail.com   Address: 부산광역시 부산진구 백양관문로 105-47 (당감동, 한국과학영재학교)

저작물의 무단 전재 및 배포시 저작권법 136조에 의거 최고 5년 이하의 징역 또는 5천만원 이하의 벌금에 처하거나 이를 병과할 수 있습니다. 

Copyright © 2018 한국과학영재학교 온라인 과학 매거진 KOSMOS. ALL RIGHTS RESERVED. Created by 김동휘, 윤태준

본 웹사이트 이용시 Chrome 브라우저 사용을 권장드립니다.