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윷놀이의 필승 전략을 밝혀내다 - 통계물리학

9월 23 업데이트됨

우리나라의 전통 게임인 윷놀이를 한 번도 해보지 않은 친구는 아마 없을겁니다. 그만큼 윷놀이는 매우 오래전에 생긴 놀이임에도 지금까지 많은 사람들에게 사랑을 받고 있습니다. 그런 윷놀이를 명절에 가족이나 친척, 혹은 친구와 함께 해보며 즐겁기도 하기만 때로는 판이 잘 풀리지 않아 속이 상한 적도 많을 것입니다. 특히 윷놀이는 승리를 확신하고 있더라도 상대말을 잡아 판에서 제거할 수 있는 룰이 있어 역전을 당해 분통을 터트린 적이 있을 겁니다. 그러한 여러분께 윷놀이의 필승 전략을 밝혀줄 수 있는 학문을 제가 오늘 소개해드리려고 합니다. 바로 ‘통계물리학’이라는 학문입니다.


통계물리학이란 무엇일까?

여러 물리학 분야 중에서도 통계물리학이란 분야는 거의 처음 들어보는 사람이 많을 것입니다. 통계물리학은 이름 그대로 통계학의 방법을 이용하여 물리적 문제를 해결하는 물리학의 기초 이론 중 하나입니다. 통계물리학을 찾아보면 통계역학에 대한 내용도 상당수가 등장합니다. 이 두 학문이 이름이 비슷하여 헷갈려하시는 분들이 많은데, 엄밀히 말하면 통계역학은 원래 통계물리학에 속하는 분야였으나 최근은 통계역학의 범위가 확대되어 통계물리학과 통계역학의 연구 내용이 거의 비슷해지며 동일한 분야를 나타내는 말로 받아들여지고 있습니다.


통계물리학은 주로 분석하고자 하는 대상의 운동이 너무 복잡하거나 대상의 수가 너무 많은 경우, 또는 확률적 해석이 중요한 현상에서 주로 이용됩니다. 단순히 물리 분야에서만이 아니라 생물학, 화학 등 다른 여러 분야와 융합되어 사용되는 경우가 많습니다. 대표적인 통계물리학의 세부 분야에는 비선형 동역학, 플라즈마 물리학, 혼돈 이론, 열역학, 유체역학 등이 존재합니다. 학문적인 부분 외에도 실생활 속 여러 현상을 통계물리학을 통해 분석해봄으로써 그러한 현상의 원인을 알아보거나 나타날 결과를 예측해 볼 수도 있답니다.


고전 통계역학

통계물리학 혹은 통계역학은 크게 두 가지로 나눌 수 있습니다. 그중 하나가 바로 ‘고전 통계역학’입니다. 고전 통계역학의 최초정립에 가장 많은 기여를 한 사람은 바로 루트비히 볼츠만이라는 물리학자입니다. 그는 열평형 상태에 존재하는 기체분자들의 속도가 통계적인 분포를 나타낸다는 가설을 내세우며 기체분자의 운동 속도에 따른 확률분포를 나타낸 맥스웰-볼츠만 분포를 발표했습니다. 이는 통계역학의 기초가 되어 이후 통계역학의 설립과 발전에 큰 역할을 하게 되었습니다.

최초의 통계역학, 맥스웰-볼츠만 분포

고전 통계역학에서는 엔트로피를 계를 이루는 입자들이 나타낼 수 있는 상태의 가짓수로 정의하고 있습니다. 예를 들어 주사위 2개를 던지는 상황을 가정해봅시다. 이때 주사위의 눈의 합이 2인 경우는 1가지만 가능하나 주사위의 눈의 합이 5인 경우는 4가지가 가능합니다. 따라서 주사위 눈의 합이 2일 때의 엔트로피가 4일 때의 엔트로피보다 낮다고 할 수 있습니다. 이러한 고전 통계역학은 열역학을 실험이 아닌 구성요소의 물리학적 성질로부터 유도하여 좀 더 정확하고 체계적으로 정리할 수 있도록 하였습니다.


양자 통계역학

양자 통계역학은 양자역학에 따라 운동하는 특정 입자들의 집단에 대한 통계역학 분야입니다. 고전 통계역학의 확률 분포인 볼츠만 분포를 이용한다는 점에서 기초적인 개념과 계산 방법은 비슷하지만 입자의 상태를 수식으로 표현하는 방식이 고전 통계역학과는 매우 다릅니다. 고전 통계역학에서는 입자가 가지는 계의 상태를 위상 공간의 한 점으로 표현하였으나 양자 통계역학에서는 거리, 길이, 각도를 좌표계로 나타낸 공간에서의 벡터를 이용하여 계의 상태를 나타냅니다. 양자 통계역학은 양자역학의 규칙을 만족하는 입자들의 모임인 계들을 다루는데 이용되며, 온도가 매우 낮거나 입자의 질량이 매우 작은 경우 또는 입자의 밀도가 매우 높은 경우 등 고전 통계역학을 이용하여 값을 구할 수 없는 극단적인 상태의 입자들에도 사용됩니다.


윷놀이의 필승 전략

위에서 통계물리학에 대해 설명한 내용을 읽어보면 통계물리학이 정말 어렵고 딱딱한 공부로만 느껴지실 수 있겠지만, 실제로는 물리의 그 어떤 분야보다 실생활에서의 활용도가 높은 분야입니다. 서론에서 말씀드렸다시피 윷놀이의 필승 전략 구성에도 사용할 수 있는 학문이니, 굉장히 유용하게 써먹을 수 있겠죠? 통계물리학의 대거라 불리는 김범준 교수가 이와 관련하여 연구한 결과가 있습니다. 그는 먼저 계산의 편의를 위해 기본 윷놀이판에서 대각선 길을 제외한 가장자리의 태두리 부분만을 길로써 사용하고, 윷을 자신의 눈높이에서 떨어트리며 한 팀당 두 개의 말을 사용하는 상황을 가정하여 계산을 진행하였습니다. 도, 개 ,걸, 윷, 모가 나올 이론적인 확률과 각 경우당 배를 보이는 윷의 수를 통해 윷가락 하나가 평평한 모양을 보일 확률을 구하였습니다. 컴퓨터 시뮬레이션을 통해 약 10억 번 게임을 반복하여 아래의 그래프를 얻어냈습니다.

위의 그래프를 통해 자신이 말을 옮기고자 하는 지점까지의 남은 거리에 따른 윷가락의 최적 배치를 알 수 있습니다. 물론 윷가락을 최적으로 배치하여 던진다 하더라도 자신이 원하는 칸수가 나오지 않을 수 있죠. 그러나 원하는 칸수가 나올 확률을 높일 수 있다는 점부터 승리에 큰 영향을 미치지 않을까 싶습니다. 또한 위의 결과를 이용하여 상대 말의 배치 별 우리편 말의 움직임에 따른 승리 확률을 계산해본 결과 윷놀이에서 이기기 위해서는 다른 편보다 먼저 게임을 시작하고, 여러 개의 말이 판 위에 올라와 있을 경우 잡기, 업기, 앞선 말을 전진시키기, 뒤의 말을 전진시키기 순서로 우선 순위를 두고 말을 움직여야 한다는 결과가 나왔습니다. 제가 이 글에서 설명해드린 전략을 잘 사용한다면 여러분도 이제 가족과 함께 하는 윷놀이에서 독보적인 승리를 거머쥘 수 있게 될 것입니다!


통계물리학의 장단점

이러한 통계물리학의 가장 큰 장점은 일부 정보만을 가지고 전체적인 정보를 유추할 수 있으며, 정확한 변화추이를 모르더라도 값을 알아낼 수 있고 분석해야할 대상의 수가 너무 많고 복잡한 경우에도 깔끔한 결과를 얻어낼 수 있다는 것입니다. 이러한 점 덕분에 특히 입자와 관련된 분야인 열역학, 유체역학, 양자역학 등에서 통계물리학이 큰 힘을 발휘하고 있습니다. 그러나 통계물리학에는 단점도 존재합니다. 대부분의 통계 학문이 가지는 단점인 정확한 특정 값을 알 수 없고 대략적인 값만 추산해낼 수 있다는 것과 통계물리학만을 가지고는 깊이있는 학문 연구가 불가능하다는 것입니다. 정확하고 오차를 최대한 줄여야하는 분야에서는 통계물리학을 사용할 수 없다는 것이 통계물리학의 안타까운 점인 것 같습니다.


이번 기사에서는 여러분께 조금 생소하게 들릴 수도 있는 통계물리학이라는 학문에 대해 간략하게 소개를 드려보았습니다. 통계물리학이라는 학문의 소개가 목적인 기사였기에 구체적인 통계물리학의 연구 방법과 내용 및 이론, 수식 등을 세세하게 소개해드리지 못한 점이 조금 아쉽습니다. 통계물리학에 대해 더욱 구체적이고 자세하게 알아보고 싶은 분께는 아래 동영상을 시청하시는 것을 추천드립니다. 혹시 다른 분야를 전공으로 생각하고 계시다 물리 분야에 관심이 생기게 되신다면 다른 분야와의 응용도 용이하고 실생활에 접목시키기도 쉬운 통계물리학에 대해 공부해보는 것을 어떨까요?



<참고자료>

[1] The ScienceTimes - 통계물리학으로 일상을 풀어내다

https://www.sciencetimes.co.kr/?p=193230&post_type=news&news-tag=

[2] 위키피디아 – 통계물리학

https://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%86%B5%EA%B3%84%EC%97%AD%ED%95%99

[3] 성대신문 – 통계물리학, 티끌 모아 태산을 이해하다

http://www.skkuw.com/news/articleView.html?idxno=11637

[4] 티스토리 블로그 – 통계역학, 통계물리학_볼츠만

https://thephysics.tistory.com/entry/%ED%86%B5%EA%B3%84%EC%97%AD%ED%95%99-%ED%86%B5%EA%B3%84%EB%AC%BC%EB%A6%AC%ED%95%99%EB%B3%BC%EC%B8%A0%EB%A7%8C?category=406721

[5] 나무위키 – 통계역학

https://namu.wiki/w/%ED%86%B5%EA%B3%84%EC%97%AD%ED%95%99

[6] 정하웅·강변남, “복잡계 네트워크에 대한 최근 연구 동향”, ‘특집 복잡계 연구와 통계물리학, 7-9

[7] 네이버 지식백과 – 양자통계역학

https://terms.naver.com/entry.nhn?docId=5810684&cid=60217&categoryId=60217

[8] 티스토리 – 통계역학의 이론, 통계물리학에 대해서

https://catlovecat.tistory.com/39


<이미지>

[1] https://m.post.naver.com/viewer/postView.nhn?olumeNo=9786362&memberNo=38454779

[2] https://blog.naver.com/hafs_snu/221227007084

[3] http://www.skkuw.com/news/articleView.html?idxno=11637


<동영상>

[1] https://www.youtube.com/watch?v=kQ8eigMUXsI


Physics 학생기자 서해린

2019년 가을호

지식더학

통계물리학

조회 598회
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