33.jpg
55.jpg

KAIST부설 한국과학영재학교 온라인 과학매거진 코스모스

  • 블랙 페이스 북 아이콘
  • 블랙 인스 타 그램 아이콘

수학적 모델링으로 보는 Covid-19의 확산


SEIR 모델의 의미

SEIR 모델은 감염대상군(S), 접촉군(E), 감염군(I), 회복군(R) 사이의 상관관계에 대해 설명하고 있으며, 특히 회복군은 더 이상 감염되지 않는다는 가정을 한다. 감염대상군(Susceptible)은 감염될 수 있는 모든 개체의 수, 접촉군(Exposed)는 감염대상군이었던 개체가 감염된 개체와 접촉하여 잠복기를 겪는 개체의 수, 감염군(Infectious)는 말 그대로 감염된 개체, 다른 말로는 감염대상군에게 전염병을 옮길 수 있는 개체의 수, 회복군(Recovered)는 감염군이었던 개체 중에서 회복된 개체의 수를 의미한다. 앞에서 말했듯이, 회복군이었던 사람은 다시 감염되지 않는다고 가정하므로 감염대상군에 다시 포함되지 않는다. SEIR 모델에서는 아래 그림과 같이 S → E → I → R의 단계로 진행된다. 그리고, 만약 접촉군(E)과 감염군(I)의 단계에 있는 개체의 수가 없다면, 전염병의 확산이 끝났다고 말할 수 있을 것이다.


여기서 ‘D’는 ‘death’로, 전염병으로 죽은 사람의 수를 의미하나, 이 부분은 무시하도록 하자.
SEIR 모델의 방정식

이제, 수식적으로 이 모델을 나타내어보자. 우선, 감염대상군(S), 접촉군(E), 감염군(I), 회복군(R)의 변화량에 주목해서 생각해보자. 먼저, 감염대상군(S)의 경우에는 감염군(I)과 접촉한 감염대상군(S) 중에서 일부만이 감염되어 접촉군(E)이 될 것이다. 이때, 감염군(I)과 접촉한 감염대상군(S) 중 접촉군(E)이 되는 비율을 β(베타)라고 하면, 아래 식과 같이 나타낼 수 있다. (Δ(델타)는 변화량을 의미한다.)

다음으로, 접촉군(E)의 경우에는 감염대상군(S) 중에서 감염자(I)와 접촉하여 접촉군이 된 개체들이 추가되고, 접촉군에 있던 개체 중 감염군(I)이 되는 개체 수 만큼 줄어든다. 그 비율을 α(알파)라고 하면, 아래와 같다.

감염자(I)는 접촉군(E) 중에서 감염자(I)가 되는 개체 수만큼 증가하며, 감염자(I) 중 회복되는 개체 수(R)만큼 감소한다. 감염자(I)가 회복되는 비율을 γ(감마)라고 하면 아래 식과 같이 나타난다.

마지막으로, 회복군(R)은 감염자(I) 중에서 회복되는 만큼 증가한다. 아래 식과 같이 나타난다.

여기서 α(알파)는 잠복기에 머무는 평균 시간의 역수, β(베타)는 감염률, γ(감마)는 회복률에 해당한다. 그리고, 보통 전체 개체 수를 1로 설정하므로, S+E+I+R=1로 나타낸다. 처음에는 S=1, E=0, I=0, R=0인 상태에서 시작하게 된다. 더 구체적으로 알아보기 위해 ‘최대 감염자 비율’이라는 개념을 도입해보자. 이는 전체 감염자를 의미하는 것으로, 접촉군과 감염군의 수를 더한 것이며, ‘J’로 표시한다.

여기서, J의 변화량을 S의 변화량으로 나누면, 아래와 같이 쓸 수 있다.

이를 적분하면,

여기서 J(0), S(0)은 0초일 때의 값이므로, J(0) = 0, S(0) = 1일 것이다. 위 식을 이용해서 최대값을 구해보면

이러한 식을 구한 것은 언제 전염병이 끝날지를 알아내기 위해서이다. 전염병이 끝난다는 것은 병의 확산이 멈춘다는 것, 즉, 접촉군의 변화량과 감염군의 변화량이 0이 된다는 것을 의미한다. 따라서, 다음 식처럼 나타내는 것이 가능하다.

위에서 구한 방정식을 대입하면,

두 식을 연립하면,

결국, 이 조건을 만족할 때 전염병이 끝난다고 말할 수 있게 되는 것이다. 이런 다양한 식들을 이용하여 우리는 전염병의 확산에 대해 예측해볼 수 있는 것이다. 이들을 이용해 적당한 변수를 대입하여 그래프를 그려보면, 아래 그림처럼 나타난다.

x축은 시간, y축은 S, E, I, R의 값을 나타낸다.
실제 상황과 더 가까운 모델링

지금까지 우리는 SEIR 모델에 대해서 알아보았다. 하지만, 이 모델링은 실제와 완전히 같다고 할 수는 없다. 이 모델에서는 죽음, 백신, 치료, 격리, 그리고 걸렸던 사람이 다시 걸리는 경우 등을 비롯한 실제 상황에서 나타날 수 있는 여러 요소를 고려하지 않았기 때문이다. 실제 상황에 더 가까운 모델링으로는 SEIRS 모델 등이 있다. 아래 그림은 백신을 맞은 개체(V, vaccinated), 격리된 개체(Q, quarantined), 전염병으로 죽은 개체(D, deaths)도 포함하는 더 실제와 가까운 모델이다.

S, E, I, Q, R, D. V 변수들을 포함하는 전염병 모델

이처럼 여러 전염병 모델이 존재하지만, 그 어떤 모델도 완전히 실제 상황과 정확할 수는 없다. 실제 상황의 모든 변수를 고려하는 것은 정말 어렵기 때문이다. 하지만, 여러 변수들을 고려한다면 실제와 매우 가까운 모델을 만들어낼 수는 있다.


지금까지 SEIR 모델을 간단히 살펴보았는데, 혹시 더 알고 싶다면 아래 동영상이 도움이 될 것이다.


 

정지훈 학생기자 | Mathematics & Computer Science | 지식더하기


참고자료

[1] https://www.dongascience.com/

[2] https://docs.idmod.org/

[3] https://ko.wikipedia.org/

[4] https://scienceon.kisti.re.kr/

[5] https://jkms.org/


첨부 이미지 출처

[1] https://www.mdpi.com/2077-0383/9/5/1350/pdf (pdf 자료)

[2] https://docs.idmod.org/

[3] https://www.mdpi.com/2227-7390/9/6/636 (논문 자료)


첨부 동영상 링크

[1] https://youtu.be/ibIdA_znNPM


© KAIST부설 한국과학영재학교 온라인 과학매거진 KOSMOS

조회수 776회댓글 0개

최근 게시물

전체 보기