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KAIST부설 한국과학영재학교 온라인 과학매거진 코스모스

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뎅 뎅 울려라 벨 부등식

편광 필름은 양자 측정 장치라 말할 수 있다. 어떤 광자가 편광 필름에 도달하면, 통과하거나 통과하지 못한다. 광자의 통과 여부는 광자가 특정 방향에 대해서 편광되었는지 측정해준다. 편광 필름 한 개를 고정하고 다른 편광 필름을 회전시키며 통과되는 빛의 세기를 관찰해보자. 두 필름의 방향이 같을 때(0°) 가장 밝고 필름을 회전시킬수록 점점 어두워지다가 두 필름이 직각(90°)일 때 가장 어두운 것을 알 수 있다. 우리는 편광 필름을 통과할 수 있는 광자들을 관찰한 것이다. 한 방향 혹은 한 축, 즉 첫 번째 필름을 통과한 광자가 두 번째 필름을 통과할 확률이 낮아지는 것이 자연스럽다. 예로, 이론적으로 첫 번째와 두 번째 필름이 90°를 이룰 때 광자가 두 필름을 모두 통과할 확률이 0%가 되어 완전히 어두워지는 것이다. 세 번째 필름을 추가하면 어떤 현상이 일어날지 상상해보자. 편광 필름은 빛을 제거한다. 빛을 “필터링”한다. 필름이 추가되면 추가될수록 빛이 어두워지는 것이 자연스럽다. 앞선 실험에서 두 필름 중간에 두 필름이 이루던 각도 사이에 있는 각도로 새로운 필름을 추가하면 빛이 밝아진다. 이론적으로, 필름 사이에 중간 각도로 계속해서 필름을 추가할수록 빛은 점점 더 밝아진다. 빛을 제거하는 장치를 추가했더니 빛이 더 밝아지는, 상당히 부자연스러운 현상이 일어난다.


편광 필름의 예시는 우주가 어떻게 작동하는가에 대한 법칙과 가정, 실험과 증명에 대한 질문을 던진다. 실험 결과의 측정값이 내가 실험하는 현상과 어떤 관계를 가지며 무엇을 설명하고, 무엇을 증명해주는지, 혹 정보의 전달이 빛보다 빠를 수 없다는 것 등이 있다. 너무 관계가 비약적으로 건너뛰었다고 생각할 수 있다. 이 문제는 벨의 정리에 도달하는 것이 목표이며 이는 현대 물리학에서 정말 많은 아이디어를 생성하고 생각을 자극시키는 정리이다. 벨 부등식을 이해하기 위해선 양자 상태를 표현하는 수학에 대한 이해가 먼저 필요하다. 이 글에서는 수학적 요소는 최대한 생략하며 벨 정리의 본질, 우리에게 무엇을 말해주고 있는지를 알아보겠다.


다시 편광 필터로 돌아오자. 광자는 전자기장의 파동이다. 여기서 편광은 파동이 진행하는 방향을 의미한다. 편광 필터는 특정 방향의 진동을 흡수한다. 반대 방향에서 나오는 파동은 흡수된 방향의 수직으로만 진동할 수 있다. 수면파나 음파와는 다른 점은 물과 공기와는 다르게 광자가 양자 물체라는 점이다. 따라서 광자는 편광 필터를 통과하거나 전혀 통과하지 못하는 2가지 경우의 수만 존재한다. 그리고 이는 확률적이다. 슈뢰딩거의 고양이가 죽거나 살아있는 2가지의 경우의 수만 존재하며 상자를 열어 확인하기 전까지 확률적으로 존재하는 예시와 비슷한 상황이다. 이런 상황에서 할 수 있는 생각은, 우리가 아직 모르는 ‘숨겨진 변수’가 존재하여 광자, 혹은 고양이의 상태를 설명하는 그 ‘숨겨진 변수’가 광자의 편광 필터 통과 여부와 고양이의 생사를 확실하게 알려준 다는 것이다. 우리는 그 ‘숨겨진 변수’를 찾지 못한 것이지 사실 결과는 결정되어 있으며 확률적으로 비결정된 상태는 존재하지 않는다는 것이다. 다만 이런 숨겨진 변수의 존재는 실험으로 측정 한계를 벗어난다. 무슨 뜻이냐면 어떠한 측정도 이 실험에서 숨겨진 변수가 어딘가에 존재하거나 존재하지 않음을 조사할 수 없다. 상당히 난감하다.


세 편광 필터 A, B, C를 생각하자. 다음 그림과 같은 각도로 설치하자. A, B, C를 통과하는 광자의 수는 말루스의 법칙으로 계산할수도, 실험적으로 얻어낼 수도 있다.


양자의 관점에서 보면, 실제로 빛을 쏴서 결과를 관찰하기 전까지는 어떤 광자가 A를 통과할지, B를 통과할지, C를 통과할지 알 수 없다. 확률로써 존재한다. 그러나 어떤 ‘숨겨진 변수’가 존재해 빛을 쏴서 확인하기 전에 어떤 광자가 각 필터들 통과 여부가 정해져 있다고 가정하자. 미리 스포일러를 하자면, 이 가정의 목표는 모순을 찾아 ‘숨겨진 변수’는 세상에 존재하지 않는다는 것을 증명하는 것이다. 먼저 무조건 A를 통과하는 100개의 광자들을 생각하자.


A와 B를 모두 통과할 수 있는 광자는 85개이며, A는 통과하지만 B는 통과하지 못하는 광자는 15개이다.


여기서 필터 C를 추가해서 A와 B는 통과하지만 C는 통과하지 못하는 광자들을 생각하자. 85개의 광자들 중 15% 이하의 광자들만 해당하므로 해당 주확색 영역의 광자 개수는 15개를 넘을 수 없다.


A와 C 필터만 생각하면 A를 통과하고 C를 통과하는 광자는 50개, A를 통과하고 C를 통과하지 않는 광자는 50개이다.


이 때 A를 통과하지만 C를 통과하지 않는 광자들의 개수에 좀 더 집중해 보면 A와 B를 통과하고 C를 통과하지 않는 광자들과 A를 통과하지만 B와 C를 통과하지 않는 광자들의 합집합임을 알 수 있다. 그러나 각각의 집합에 속할 수 있는 광자의 최대 개수는 모두 15개를 넘지 않는다. 즉 15를 넘지 않는 자연수 2개를 더했더니 합이 50이 되는 모순이 발생한 것이다.


광자가 필터를 통과하는지 안하는지 확실하게 판별 가능한 어떤 숨겨진 변수가 존재하다는 가정에 모순을 발견했다. 벨 부등식은 실험적으로 양자 역학에서 숨은 변수가 존재하지 않음을 증명한다. 벨은 퀀텀 스핀, 전자의 회전을 이용해서 증명했다. 관심 있는 사람은 벨의 실험, EPR 이론에 대하여 더 조사해 보는 것을 추천한다.

박선빈 학생기자│Physics & Earth Sci│지식더하기


참고자료

[1] https://www.youtube.com/watch

[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Bell%27s_theorem


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