여러분 주위에 있는 물체 아무거나, 예를 들어 연필을 담아두는 필통을 생각해봅시다. 필통 안에는 대략 잡아도 무려 6곱하기 10의 23승 개라는 아보가드로 수 이상의 원자와 미시 입자들로 구성되어 있을 것 입니다. 이런 무수히 많은 입자들은 양자역학의 슈뢰딩거 방정식에 근거하여 움직일 것 입니다. 필통을 구성하는 입자들은 전자, 양성자와 같이 전하를 띠는 입자들이 대부분이기에 대전된 입자들 사이의 힘인 전기력, 또 전하들이 움직일 때 생성되는 자기장에 의한 자기력 등으로 서로 상호작용합니다. 각각의 입자는 나머지 아보가드로 수개의 입자 로부터 힘을 받으므로 매우 복잡하게 움직일 것이라고 예상할 수 있습니다. 그렇다면 필통은 그 형체를 얼마 유지하지 못하고 흘러 내리거나 막 분해되는 것이 당연해 보입니다. 하지만, 우리 눈에 보이는 실제 세계의 필통은 그 네모난 형체를 유지합니다. 필통이 수많은 원자로 구성되어 각 입자 사이의 복잡한 상호작용이 있다는 미시적 세계의 그림과 필통이 네모난 형체를 유지하며 정확한 부피를 갖는 다는 거시적 세계의 그림은 어떻게 연결될 수 있는 것 일까요? 그 답을 주는 것이 바로 통계 역학입니다.
이원 모형계
필통과 같은 복잡한 물체 대신에 이원 모형계라는 간단한 계를 생각해 보도록 하겠습니다. 이원 모형계는 자기 모먼트의 값이 +m 혹은 –m 인 N개의 자석소가 서로 다른 위치에 배열되어 있는 계로 10개의 자석소로 구성된 이원 모형계가 그림 1에 나타나 있습니다. 이 계에서 중요한 것은 자석소의 총자기 모먼트 값입니다. 예를 들어 10개의 자석소로 구성된 이원 모형계에서 +m 인 자석소가 6개 있고 –m 인 자석소가 4개 있다면 총자기 모먼트 값은 +2m 이 되게 됩니다. 총자기 모먼트 값이 중요한 이유는 이 이원 모형계에 자기장을 걸어주었을 때 이원모형계가 가지는 에너지는 총자기 모먼트 백터와 자기장을 내적한 후 -1 을 곱한 값이 되기 때문입니다.
우리가 어떤 랜덤한 순간에 계를 관찰하였을때 계가 특정한 총자기 모먼트 값을 가지고 있을 확률을 계산해보고자 합니다. 여기서 문제를 간단히 하기 위해 총 자석소의 개수인 N을 짝수로 두고 특정한 총자기 모먼트 값을 –N/2 부터 N/2 사이의 정수 s에 대해 +2sm이라고 하겠습니다. N 개의 자석소에 1부터 N 까지의 이름을 붙이면 이원 모형계의 한 개의 상태는 다음 식처럼 표시됩니다. 아래의 상태는 1번, 2번, 5번, 8번, 9번, 10번 자석소가 +m의 자기 모먼트를 가지고 3번, 4번, 6번, 7번 자석소가 –m의 자기 모먼트를 가지는 상태를 표현한 것입니다.
그렇다면 이원 모형계의 서로 구분되는 모든 상태는 기호로 표시한 N개의 인수의 곱 속에 생각할 수 있습니다. 이렇게 각 상태의 합을 곱의 형태로 표현해주는 함수를 모함수라고 부릅니다.
예로, N = 2인 경우에 대해서 계는 다음의 4가지 상태를 가질 수 있게 됩니다.
따라서, N 개의 자석소로 이루어진 이원 모형계의 경우에는 2의 N승 개의 서로 다른 상태가 존재하게 됩니다. 총자기 모먼트 수가 가질 수 있는 값은 –N/2 부터 N/2 사이의 정수, 즉 N+1 개의 서로 다른 값을 가질 수 있습니다. 2의 N승 개의 상태가 N+1개의 종류로 분리되므로 N이 매우 크면 많은 상태들이 같은 총자기 모먼트를 가짐을 알 수 있습니다. 확률을 계산하기 위해서는 몇 개의 서로 다른 상태가 같은 총자기 모먼트를 가지는지 계산해야 합니다. N개의 자석소로 구성된 이원 모형계에서 총자기 모먼트가 +2sm인 상태의 수를 g(N,s)라 정의해봅시다. 우리는 총자기 모먼트의 값에만 상관이 있으므로 식 (1) 에서 아래 첨자를 생략한 후에 이항전개하면 다음과 같이 g(N,s)를 구해낼 수 있습니다.
중복도함수 g(N,s)의 성질
중복도 함수를 바로 처리하는 데에는 어려움이 있으므로 로그를 씌운 후 아래 그림과 같이 스탈링 근사법을 사용하여 정리하면 아래의 그림처럼 s = 0에서 g(N,0)로 최대를 가지고 지수함수적으로 감소하는 꼴의 근사를 얻을 수 있습니다. 여기서 g(N,s)가 최대의 1/e 까지 감소하는 곳의 s, 즉 선폭은 아래 식의 델타 s로 주어집니다.
선폭을 N으로 나눈 비폭은 루트 N에 반비례하는 것을 알 수 있는데, 따라서 N이 매우 큰 경우 중복도함수의 분포는 대단히 급격한 상승점을 갖는 함수로 정의됨을 알 수 있습니다. 중복도 함수가 극대점을 중심으로 매우 높은 피크를 가진다는 점이 미시적 세계와 거시적 세계를 이어주는 연결 통로입니다. 열평형 상태에서 계의 물리적 성질이 장 정의된다는 예상은 우리가 어떤 특정 시점에 계의 상태를 관찰하였을 때에 대부분의 경우에는 중심점 주변에 계들만 관찰되기 때문입니다. 입자, 즉 N이 커질수록 그 비폭은 줄어들기에 정상점을 벗어난 계들이 관찰될 확률도 줄어들게 됩니다. 이러한 성질이 우리가 주변에 있는 물체들이 잘 정의된 크기, 모습, 형태를 가질 수 있게 만드는 것입니다.
미시적 세계와 거시적 세계
수많은 입자들의 상호작용을 구성된 미시적 세계와 부피, 형태를 가지는 거시적 세계의 연결고리는 계의 상태를 통계적으로 바라보아 중복도 함수가 어떠 한 정상점에서 매우 높은 피크를 가진다는 성질에서 이어졌습니다. 이렇게 열평형 상태에 있는 계들의 성질을 분석하는 학문이 통계역학입니다. 통계역학은 고체물리학, 양자통계 등 물리에서도 이용되지만 생물, 인구 등 다양한 학문 분야에서도 활용되고 있습니다.
홍석찬 학생기자│Physics│지식더하기
참고자료
[1] Thermal Physics. Kittel & Kroemer
